POMOCNIK BADACZA

ANALIZA STRUKTURY: – przedstawienie w sposób ilościowy właściwości badanej zbiorowości statystycznej.
Zbiorowość statystyczna: – zbiór nieidentycznych jednostek, posiadających przynajmniej jedną cechę wspólną istotną ze względu na cel badania.
Jednostka statystyczna: – pojedynczy element zbiorowości statystycznej.
ŚREDNIA ARYTMETYCZNA: - ogólna suma wartości rozdzielona jednakowo na poszczególne jednostki. Informuje, jaka byłaby wartość cechy, gdyby wszystkie jednostki były jednakowe. $\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}$ Średnia arytmetyczna zawiera się w przedziale $x_{\min} \leq \bar{x} \leq x_{\max}$
DOMINANTA: inaczej-wartość typowa, wartość modalna, wartość najczęstsza, moda – wartość badanej cechy, która występuje w badanej zbiorowości najczęściej. $D = x_{i}, gdzie x_{i} - najczęstszy wariant cechy$ Aby wyznaczyć dominantę zbiorowość musi być jednomodalna.
MEDIANA: (wartość środkowa, kwartyl II) – wartość jednostki statystycznej zajmującej środkowe miejsce w zbiorowości uporządkowanej rosnąco lub malejąco wg wartości cechy. $\begin{array}{l} n - nieparzyste n - parzyste \\ M = x_{\frac{n + 1}{2}} M = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2} \end{array}$ Mediana jest taką wartością cechy, poniżej której znajduje się połowa jednostek i powyżej której znajduje się połowa jednostek zbiorowości statystycznej. Medianę zawsze można obliczyć, zawsze ma sens. Na wartość mediany nie wpływają wartości skrajne.
KWARTYL I: (kwartyl dolny) – dzieli zbiorowość na dwie części w taki sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości zmiennej mniejsze lub równe kwartylowi pierwszemu, a 75% - równe lub większe od tego kwartyla. $\begin{array}{l} n podzielne przez 4 : Q_{I} = \frac{x_{\frac{n}{4}} + x_{\frac{n}{4} + 1}}{2} \\ (n + 1) podzielne przez 4 : Q_{I} = x_{\frac{n + 1}{4}} \\ (n + 2) podzielne przez 4 : Q_{I} = x_{\frac{n}{4} + \frac{1}{2}} \\ (n + 3) podzielne przez 4 : Q_{I} = \frac{x_{\frac{n + 1}{4} - \frac{1}{2}} + x_{\frac{n + 1}{4} + \frac{1}{2}}}{2} \end{array}$
KWARTYL III: (kwartyl górny) – dzieli zbiorowość w taki sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości zmiennej mniejsze lub równe kwartylowi trzeciemu , a 25% - równe lub większe od tego kwartyla. $\begin{array}{l} n podzielne przez 4 : Q_{III} = \frac{x_{\frac{3n}{4}} + x_{\frac{3n}{4} + 1}}{2} \\ (n + 1) podzielne przez 4 : Q_{III} = x_{\frac{3 (n + 1)}{4}} \\ (n + 2) podzielne przez 4 : Q_{III} = x_{\frac{3n}{4} + \frac{1}{2}} \\ (n + 3) podzielne przez 4 : Q_{III} = \frac{x_{\frac{3 (n + 1)}{4} - \frac{1}{2}} + x_{\frac{3 (n + 1)}{4} + \frac{1}{2}}}{2} \end{array}$
ODCHYLENIE STANDARDOWE: – określa o ile - średnio biorąc – jednostki badanej zbiorowości różnią się od wartości średniej arytmetycznej badanej zmiennej. Jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. $S (x) = \sqrt{S^{2} (x)}$
WARIANCJA: – średnia arytmetyczna z sumy kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od ich średniej arytmetycznej. $S^{2} (x) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}{n} = \bar{x^{2}} - {\bar{x}}^{2}$ Wariancja nie posiada interpretacji ekonomicznej, ale ma bardzo duże znaczenie teoretyczne. Im zbiorowość jest bardziej zróżnicowana, tym wartość wariancji jest wyższa.
KLASYCZNY WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI: – iloraz absolutnej miary zróżnicowania i przeciętnego poziomu wartości cechy. Wykazuje stopień zróżnicowania całej badanej zbiorowości. $V_{s} = \frac{S (x)}{\bar{x}} * 100 %$ Interpretacja: patrz pozycyjny współczynnik zmienności.
KLASYCZNY TYPOWY OBSZAR ZMIENNOŚCI: – charakteryzuje typowe wartości jednostek całej zbiorowości statystycznej. $\bar{x} - S (x) \leq x_{TYP} \leq \bar{x} + S (x)$ Gdy rozkład jest symetryczny lub bardzo zbliżony do symetrycznego w obszarze tym mieszczą się wartości cechy około 2/3 wszystkich jednostek badanej zbiorowości.
ODCHYLENIE ĆWIARTKOWE: – obliczane na podstawie różnicy między trzecim a pierwszym kwartylem. Mierzy poziom zróżnicowania jedynie połowy jednostek, pozostałych po odrzuceniu 25% jednostek o wartościach mniejszych od pierwszego kwartyla i większych od trzeciego kwartyla. $Q = \frac{Q_{III} - Q_{I}}{2}$
POZYCYJNY WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI: - wykazuje stopień zróżnicowania badanej zbiorowości w zawężonym obszarze zmienności (w dwóch środkowych ćwiartkach badanej zbiorowości). $V_{Q} = \frac{Q}{M} * 100 %$ Jeżeli współczynnik zmienności przyjmuje wysokie wartości liczbowe, to fakt ten świadczy o niejednorodności badanej zbiorowości. Przyjmuje się, że: $\begin{array}{l} 0 \leq V_{S} \leq 0,1 - zbiorowość jest jednorodna; \\ 0,1 < V_{S} \leq 0,6 - zbiorowość jest względnie jednorodna; \\ 0,6 < V_{S} - zbiorowość jest niejednorodna \end{array}$ Interpretacja współczynnika zmienności: $\begin{array}{l} 0 < V_{S} < 20 % - bardzo małe / bardzo słabe zróżnicowanie; \\ 20 \leq V_{S} < 40 % - małe / słabe zróżnicowanie; \\ 40 \leq V_{S} < 60 % - umiarkowane zróżnicowanie; \\ 60 \leq V_{S} < 80 % - duże / silne zróżnicowanie; \\ pow . 80 % - bardzo duże / bardzo silne zróżnicowanie . \end{array}$ ZASTOSOWANIE: Służy do porównywania zmienności: - jednej cechy dwóch lub więcej zbiorowości, - dwóch lub więcej cech tej samej zbiorowości.
POZYCYJNY TYPOWY OBSZAR ZMIENNOŚCI: - charakteryzuje typowe wartości jednostek zbiorowości statystycznej w zawężonym obszarze zmienności do dwóch środkowych ćwiartek. $M - Q \leq x_{TYP} \leq M - Q$
ASYMETRIA: Badanie asymetrii polega na odpowiedzi na pytanie czy przeważająca liczba jednostek tworzących badaną zbiorowość ma wartości cechy wyższe czy niższe od przeciętnego poziomu.

Jeżeli:
$\begin{array}{l} \bar{x} = M = D - to rozkład jest symetryczny, czyli asymetria jest centralna (A_{2}, A_{3} = 0); \\ \bar{x} > M > D - to rozkład charakteryzuje się asymetri ą prawostronn ą (dodatni ą, A_{2}, A_{3} > 0); \\ \bar{x} < M < D - to rozkład charakteryzuje się asymetri ą lewostronn ą (ujemn ą, A_{2}, A_{3} < 0) \end{array}$

Interpretacja siły asymetrii:
0,0 – 0,2 - siła asymetrii bardzo słaba, bardzo niska
0,2 – 0,4 - siła asymetrii słaba, niska
0,4 – 0,7 - siła asymetrii jest umiarkowana, średnia
0,7 – 0,9 - siła asymetrii wysoka, silna
0,9 – 1,0 - siła asymetrii bardzo wysoka, bardzo silna
KLASYCZNO-POZYCYJNA MIARA ASYMETRII: – informuje o asymetrii w całej badanej zbiorowości. $A_{3} = \frac{\bar{x} - D}{S (x)}$ Klasyczno-pozycyjny współczynnik asymetrii przyjmuje wartości z przedziału (-1,1).
POZYCYJNA MIARA ASYMETRII: - informuje o asymetrii w dwóch środkowych ćwiartkach badanej zbiorowości. $A_{2} = \frac{Q_{III} + Q_{I} - 2 M}{2 Q}$ Pozycyjny współczynnik asymetrii przyjmuje wartości z przedziału <-1,1>.
ANALIZA DYNAMIKI: – określanie rozmiarów i kierunku rozwoju zmian w czasie badanego zjawiska

Analizę dynamiki przeprowadza się na podstawie szeregów czasowych. Szereg czasowy – ciąg wartości badanego zjawiska, obserwowanego w kolejnych jednostkach czasu.
Do najczęściej stosowanych miar dynamicznych należą:
- Przyrosty absolutne (bezwzględne)
- Indeksy dynamiki (wskaĽniki dynamiki, indeksy indywidualne)
PRZYROST ABSOLUTNY: ABSOLUTNY – różnica między wielkością zjawiska w badanym okresie, a wielkością tego zjawiska w okresie podstawowym.

Wyróżniamy przyrost absolutny:
- JEDNOPODSTAWOWY (o stałej podstawie porównań): $Δ Y_{t / 0} = Y_{t} - Y_{0}$
- ŁAŃCUCHOWY ( o zmiennej podstawie porównań): $Δ Y_{t / t - 1} = Y_{t} - Y_{t - 1}$
INDEKS DYNAMIKI: – stosunek wielkości danego zjawiska w okresie badanym do wielkości tego zjawiska w okresie podstawowym.

Wyróżniamy indeksy:
- JEDNOPODSTAWOWE (o stałej podstawie porównań): $i_{t / 0} = \frac{Y_{t}}{Y_{0}}$
- ŁAŃCUCHOWE (o zmiennej podstawie porównań): $i_{t / t - 1} = \frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}}$
TREND (TENDENCJA ROZWOJOWA): – długookresowa tendencja zmian w szeregu czasowym. Jest to pewna wyrównana linia wyznaczająca zasadniczy kierunek rozwojowy badanego zjawiska. W celu określenia analitycznej postaci funkcji trendu dopasowuje się określoną funkcję matematyczną do zbioru obserwacji, wyznaczając parametry tej funkcji najczęściej Metodą Najmniejszych Kwadratów. Najczęściej spotykaną w praktyce postacią analityczną funkcji trendu jest postać liniowa. $\begin{array}{l} {\hat{Y}}_{t} = a_{1} t + a_{0} \\ a_{1} = \frac{\bar{Y \cdot t} - \bar{Y} \cdot \bar{t}}{\bar{t^{2}} - {\bar{t}}^{2}} \end{array}$ Ocena parametru a₁ informuje jak średnio z okresu na okres zmieniało się (wzrastało/spadało) obserwowane zjawisko w badanym przedziale czasowym. $a_{0} = \bar{Y} - a_{1} \cdot \bar{t}$ Współczynnika a₀ zwykle się nie interpretuje.
CHARAKTERYSTYKI DOPASOWANIA FUNKCJI TRENDU: (inaczej WERYFIKACJA) - badanie zgodności dopasowania wartości rzeczywistych szeregu czasowego y_t z wartościami wynikającymi z wyznaczonej funkcji trendu.

Do najczęściej wykorzystywanych miar weryfikacji należą:
- współczynnik determinacji;
- współczynnik zgodności;
- odchylenie standardowe składnika losowego;
- współczynnik zmienności losowej.
WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI: – określa w jakim stopniu zmiany badanego zjawiska są wyjaśniane przez zbudowany model trendu liniowego (w ilu % wartości rzeczywiste szeregu czasowego są zbieżne z wartościami teoretycznymi – wynikającymi z funkcji trendu). $R^{2} = 1 - ϕ^{2}$
WSPÓŁCZYNNIK ZGODNOŚCI: ( inaczej: zbieżności, indeterminacji, niedopasowania) - określa w jakim stopniu zmiany badanego zjawiska nie są wyjaśniane przez zbudowany model trendu liniowego (w ilu % wartości rzeczywiste szeregu czasowego są rozbieżne z wartościami teoretycznymi – wynikającymi z funkcji trendu). $ϕ^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{t} - {\hat{Y}}_{t})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{t} - \bar{Y})}^{2}}, przy czym ϕ^{2} \in < 0; 1 >$
ODCHYLENIE STANDARDOWE SKŁADNIKA LOSOWEGO: (inaczej: odchylenie standardowe reszt, średni błąd szacunku) - określa o ile przeciętnie różnią się między sobą wartości rzeczywiste szeregu czasowego i wartości teoretyczne uzyskane na podstawie oszacowanego modelu trendu liniowego. $S_{e} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{t} - {\hat{Y}}_{t})}^{2}}{n - 2}}$
WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI LOSOWEJ: (inaczej: współczynnik wyrazistości) - określa udział odchylenia standardowego w średniej wartości badanego zjawiska. $V_{Se} = \frac{S_{e}}{\bar{Y}} \cdot 100 %$ Model trendu jest tym lepszy im niższa jest wartość tego współczynnika.
ANALIZA WSPÓŁZALEŻNOŚCI: Przedmiotem analizy współzależności jest badanie związków zachodzących pomiędzy różnymi cechami statystycznymi opisującymi zbiorowości statystyczne. Badanie związków ma sens jedynie wtedy gdy pomiędzy cechami istnieje więĽ przyczynowo-skutkowa.
WięĽ przyczynowo – skutkowa może być:
- jednostronna – liczba dni absencji w pracy (przyczyna) wpływa na wynik finansowy firmy (skutek).
- dwustronna – koszt jednostkowy produkcji (przyczyna) wpływa na wielkość produkcji (skutek) i na odwrót wielkość produkcji (przyczyna) wpływa na kształtowanie jednostkowego kosztu produkcji.
ANALIZA REGRESJI: W przypadku liniowej zależności równanie regresji przedstawia się według wzoru: ${\hat{Y}}_{i} = a_{y} x_{i} + b_{y}$

$a_{y} = \frac{c (yx)}{S^{2} (x)} = \frac{\bar{yx} - \bar{y} \cdot \bar{x}}{S^{2} (x)} = \frac{r_{yx} \cdot S (y)}{S (x)}$ - współczynnik regresji. Informuje o ile przeciętnie wzrośnie bądĽ zmaleje wartość zmiennej zależnej y, gdy wartość zmiennej niezależnej x wzrośnie o jednostkę.

$b_{y} = \bar{y} - a_{y} \cdot \bar{x}$ - wyraz wolny, nie interpretujemy go.
CHARAKTERYSTYKA OCENY DOPASOWANIA OSZACOWANEGO MODELU REGRESJI LINIOWEJ: – badanie jakości oszacowanego modelu regresji liniowej
WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI LINIOWEJ: (inaczej: dopasowania) – określa w ilu % zmienność zjawiska Y może zostać wyjaśniona zmiennością zjawiska X. $R^{2} = 1 - ϕ^{2} = 1 - \frac{n - 2}{n} \cdot \frac{S_{e}^{2}}{S^{2} (y)} = r_{yx}^{2}$
WSPÓŁCZYNNIK ZBIEŻNOŚCI: (inaczej: indeterminacji liniowej, niedopasowania) – określa w ilu % zmienność zjawiska Y nie może zostać wyjaśniona zmiennością zjawiska X, lub też w ilu % zmienność zjawiska Y można wyjaśnić przez inne czynniki niż zjawisko X. $ϕ^{2} = 1 - R^{2}$
ODCHYLENIE STANDARDOWE SKŁADNIKA RESZTOWEGO: – określa o ile przeciętnie różnią się między sobą wartości rzeczywiste zmiennej zależnej i wartości teoretyczne uzyskane na podstawie oszacowanego modelu regresji liniowej. $S_{e} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{t} - {\hat{Y}}_{t})}^{2}}{n - 2}} = \sqrt{\frac{n}{n - 2} \cdot S^{2} (y) \cdot (1 - r_{yx}^{2})}$
WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI LOSOWEJ: – określa udział odchylenia standardowego składnika losowego (błędu modelu) w średniej wartości badanego zjawiska. $V_{Se} = \frac{S_{e}}{\bar{Y}} \cdot 100 %$ Model regresji liniowej jest tym lepszy im niższa jest wartość tego współczynnika.
¬ródło i szerzej: Czyżycki R., Hundert M., Klóska R.: Wybrane zagadnienia ze statystyki, ECONOMICUS
Hozer J. red.: Statystyka – opis statystyczny, wyd. Katedra Ekonometrii i Statystyki Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania Uniwersytetu Szczecińskiego
JóĽwiak J. Podgórski J.: Statystyka od podstaw, PWE
Kassyk-Rokicka H.: Statystyka nie jest trudna, PWE
Sobczyk M.: Statystyka – teoria, przykłady, zadania, PWN
Zeliaś A.: Metody statystyczne, PWE